Районная олимпиада по физике 2014, 8 класс, теоретический тур

Из однородной проволоки изготовили кольцо с перемычкой по диаметру $AB$. На сколько процентов изменится сопротивление между точками $A$ и $B$, если перемычку перерезать? Длина окружности определяется по формуле $l=2\pi R$, где $R$ — радиус окружности. (5 баллов)

Комментарий/решение

Известно, что сопротивление протяжённого проводника зависит от его длины : $R=\dfrac{\rho\cdot L}{S}$, где $\rho$- удельное сопротивление проводника, $L$- длина проводника, $S$- площадь поперечного сечения проводника. По условию проволока однородная, значит, $\rho,S= const$. Пусть $\dfrac{\rho}{S}=a$. Заменим кольцо с перемычкой на три параллельно подключенных резистора, соединённых идеальным проводником. Сопротивления половин колец будут $R_1=R_2=a\cdot\dfrac{l}{2}$. Сопротивление перемычки $R_3=a\cdot 2R$. Отсюда рассчитаем эквивалентное сопротивление $$R_{экв1}=\dfrac{1}{{R_1}^{-1}+{R_2}^{-1}+{R_3}^{-1}}$$ $$R_{экв1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{a\cdot\dfrac{l}{2}}+\dfrac{1}{a\cdot\dfrac{l}{2}}+\dfrac{1}{a\cdot 2R}}=\dfrac{2aRl}{8R+l}$$ Если же перерезать перемычку, то схема замещения будет выглядеть как параллельное подключение резисторов $R_1 $ и $R_2$. Рассчитаем эквивалентное сопротивление $$R_{экв2}=\dfrac{1}{{R_1}^{-1}+{R_2}^{-1}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{a\cdot\dfrac{l}{2}}+\dfrac{1}{a\cdot\dfrac{l}{2}}}=a\cdot\dfrac{l}{4}$$.Далее решается пропорция вида $R_{экв1}-100 ;R_{экв2}-X $. Из $X$ вычитаем $100$ и получаем ответ