Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2018 год

а стороне $AB$ треугольника $ABC$ выбрана точка $P$, а на сторонах $AC$ и $BC$ точки $S$ и $T$ таким образом, что $AP=AS$ и $BP=BT$. Описанная окружность треугольника $PST$ вторично пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $Q$ и $R$ соответственно. Прямые $PS$ и $QR$ пересекаются в точке $L$. Докажите, что прямая $CL$ делит отрезок $PQ$ пополам. ( А. Антропов )

Комментарий/решение

Пусть M - вторая точка пересечения окружности с AC. V - точка пересечения PT и QM

$\angle BPT = \angle BTP$ Так как BP = BT.

$\angle QPT = \angle PTR $

QPTR - вписанный. Значит QPTR равнобедренная трапеция. Аналогично QPSM равнобедренная трапеция. Значит VPLQ - параллелограмм. Так как $QM \parallel PS$ и $PT \parallel QR$.

Теперь применим теорему Паскаля для шестиугольника QRTPSM. Получаем, что V,L,C лежат на одной прямой.Но VPLQ - параллелограмм значит CL делит PQ пополам.