58-я Международная Математическая Oлимпиада Румыния, Клуж-Напока, 2018 год

$ABC$ сүйір бұрышты үшбұрышына сырттай сызылған шеңбері $\Gamma$ болсын. $AD=AE$ болатындай $AB$ мен $AC$ кесінділерінде сәйкесінше $D$ және $E$ нүктелері белгіленген. $BD$ мен $CE$-нің ортақ перпендикулярлары $\Gamma$ шеңберінің $AB$ мен $AC$ кіші доғаларын сәйкесінше $F$ және $G$ нүктелерінде қияды. $DE$ мен $FG$ параллель (немесе бірдей болатын) екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть $FD$ и $GE$ пересекают окружность $\Gamma$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Тогда $\angle AXD=\angle ABF=\angle FDB=\angle ADX,$ то есть $AD=AX.$ Аналогично, $AE=AY.$ Значит, точки $D,E,X,Y$ лежат на одной окружности с центром $A$ и c радиусом $R=AD=AE.$

Теперь, из того, что $XYDE$-вписанный четырехугольник, следует, что $DE$ антипараллель $XY$. Также заметим что $XY$ антипараллельна $FG$, т.к. $XYFG$ - вписанный. Откуда прямые $DE$ и $FG$ (возможно совпадающие) параллельны.