Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2018 год


Пусть $H$ является точкой пересечения высот треугольника $ABC$, $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Пусть точка $H$ лежит внутри четырехугольника $BMNC$, а описанные окружности треугольников $BMH$ и $CNH$ касаются друг друга. Прямая, проходящая через точку $H$ и параллельная прямой $BC$, пересекает описанные окружности треугольников $BMH$ и $CNH$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Пусть $F$ является точкой пересечения прямых $MK$ и $NL$, а $J$ является центром вписанной окружности треугольника $MHN$. Докажите, что $FJ = FA$. ( Mahdi Etesamifard )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2018-08-31 16:27:13.0 #

$$\triangleright \angle HKM =\angle HBM = \angle MHF=\alpha , \quad \angle NCH =\angle HLN =\angle FHN =\beta$$

$$ MN \parallel BC \parallel KL \Rightarrow \begin{cases} \angle MKH = \angle FMN=\alpha \\ \angle HLN = \angle MNF =\beta \end{cases}$$

$$ \angle MFN + \angle MHN = \pi \Rightarrow M,H,N,F \in \Omega_3$$

$$ \Omega_3: \angle FHN =\angle NMF \Rightarrow \alpha=\beta$$

$$ \Rightarrow FH \bot MN \Rightarrow \angle FMH =\angle FNH =90^o$$

$$ \angle MHF =\angle AMF =\alpha \qquad \angle NHF =\angle ANF =\alpha\Rightarrow$$

$$ A,N,M \in \Omega_4 : \quad AF=FN=FM =R_4\square $$