20-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровРодос, Греция, 2018 год

Найдите наибольшее количество трехзначных чисел таких, что одновременно выполнены следующие условия:
1) сумма цифр каждого числа равна $9$;
2) никакое число не содержит цифру $0$;
3) любые два числа имеют разные единичные цифры;
4) любые два числа имеют разные десятичные цифры;
5) любые два имеют разные сотые цифры.

Комментарий/решение

Максимально возможное число равно $711$, так как сотые цифры должны быть разными тогда количество таких чисел не больше $7$, если брать по максимально возможным цифрам в каждом разряде с учетом условия $171,252,333,414$ по минимальным $117,225,333,441$ выходит что их количество не больше 4.

Ответ $4$

Всевозможные числа:

711

621 612

531 522 521

441 432 423 414

351 342 333 324 315

261 252 243 234 225 216

171 162 153 144 135 126 117

Заметим, что из каждой строки мы можем взять максимум по одному числу, так как у чисел в одной строке одинаковая сотая цифра. Допустим, ответ на задачу 7, тогда будут присутствовать по числу из каждой строки. Но число из первой строки (711) не может одновременно находится с любым из чисел второй строки (621, 612). Допустим, ответ на задачу 6, тогда там будет либо число из первой строки, либо число из второй (из предположения выше).

1) Там число из первой строки (711), тогда из третьей строки подходит только число 522, но тогда из четвертой строки никакое число не подходит. Противоречие.

2) Там число из второй строки (Б.О.О. это 612), тогда из третьей строки подходит только число 531, тогда из четвертой, только 423, но тогда из пятой строки никакое число не подходит. Противоречие.

Значит, ответ не больше 5.

Ответ: 5.

Пример: 513, 432, 351, 225, 144.

если мы выбираем $612$ то кроме $531$ можно $521$