20-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровРодос, Греция, 2018 год

Решите уравнение $m^5-n^5=16mn$ в целых числах.

Комментарий/решение

net reshenii

Нет, ты ошибаешься. Решение есть. Например: $m=n=0$.

м=н=0 и все да ты прав.

Нет, еще есть $m=-2, n=2$.

Только два решения.

Правая часть делится на $n$, значит, левая тоже, тогда $m^5 \,\vdots\, n$.

Правая часть делится на $m$, значит, левая тоже, тогда $n^5 \,\vdots\, m$.

Пусть $(m,\,n)=k$, тогда $m=m_1k;\,n=n_1k;\,(m_1;\,n_1)=1$, тогда

$m_1^5k^5 \vdots n_1k\Rightarrow k^4 \vdots n_1$

$n_1^5k^5 \vdots m_1k\Rightarrow k^4 \vdots m_1$

Рассмотрим случаи:

1) $m_1;\,n_1$ - степени $k$, но этого не может быть, так как взаимно просты;

2) $m_1$ или $n_1$ равны 1, тогда исходное равнение не имеет решений;

3) $m_1=n_1=1$

Значит, $|m|=|n|$.

Рассмотрев два случая, получим $(0;\,0);\,(-2;\,2).$

Не факт, что если $m^5$ делится на $n$ и $n^5$ делится на $m$, то $|m|=|n|$. Контрпример: $m=4,n=2$.

Это не все случаи. Ещё есть несколько случай. Например:

$m_{1}n_{1}=k$, где $m_{1}$ и $n_{1}$ не равны 1.

Правая часть делится на $n$, значит, левая тоже, тогда $m^5 \,\vdots\, n \,(@sea)$.Отсюда $lcm(m,n) \neq 1$

Пусть $m=\frac{k}{l} \cdot n$, где $k=\frac{m}{lcm(m.n)}, l=\frac{n}{lcm(m,n)}, lcm(k,l)=1$

$$\frac{m^5-n^5}{mn} = 16$$.

Используя уравнения выше, получим следующее:

$$n^3(\frac{k^4}{l^4} - \frac{l}{k}) = 16$$

Число $\frac{k^4}{l^4} - \frac{l}{k}$ должно быть целым, то есть дробные части данных чисел должны самоуничтожаться. Если выделить целую часть обоих чисел и оставить несократимые дроби, то они должны быть равны, однако учитвая, что $lcm(k,l) = 1$, это невозможно, только если $|k|=|l|\neq1$. Исходя из этого,$|k|=|l|=1$.

Подставив $k$ и $l$ под $m=\frac{k}{l} \cdot n$, получим, что $|m|=|n|$

Рассмотрев четыре* случая, получим $(0;\,0);\,(-2;\,2). @sea$

Не обязательно то что $\dfrac{k^4}{l^4}-\dfrac{l}{k}$ должно быть целым. Это равносильно тому что $k^5-l^5$ должно делится на $l^4k$. Но $n^3$ может делится на $l^4k$.

Но это также невозможно, поскольку поделив $m$ на $lcm(m,n)$, мы извлекли всевозможные общие простые делители чисел $n$ и $k$, поэтому $lcm(n,k)=1$. Это также приводит к случаю ранее, не так ли?

Вот нормальное решение(лол, скидываю только через 2 года после обсуждение), @Ever был на правильном пути но не добил:

$Ответ:(0,0),(-2,2)$

Если одно из чисел $m,n$ равно 0, тогда второе тоже. Далее будем считать что они не равны 0. Обозначим $d=(m,n)$,$m=dx$,$n=dy$. Тогда $1=(x,y)$ и уравнения:

$d^3(x^5-y^5)=16xy$, так как $(x,x^5-y^5)=(y,x^5-y^5)=1$, значит 16 делится на $x^5-y^5$. $a^5$ при делении на 11 дают остатки -1,0,1. Значит $x^5-y^5$ при делении на 11 дают остатки -2,-1,0,1,2. А соответствующие делители числа 16: -2,-1,1,2. Методом перебора и уравнение Диофана можно легко найти что $x=1,y=-1$, значит $m=-2,n=2$.

ясно что если $m=n$ то обязаельно $m=n=0$ тогда пусть $m\ne n$ тогда обязательно $m,n$ не взаимнопросты если они оба $\ne 1$ тогда $m=dx,n=dy$ так чтобы $x,y$ были взаимнопросты тогда ,$d^5x^5-d^5y^5=16d^2xy $$\Rightarrow$$d^3x^5-d^3y^5=16xy$$\Rightarrow$$d^3(x^5-y^5)=16xy$ заметим что если оба положительные то $x^5-y^5 $ не делится на $xy$ разберем случай где оба положительные тогда тогда $d^3=xy$ $x^5-y^5=16$ тогда $x,y$ нечетные $x^5=16+y^5$,$\Rightarrow$$x,y>1$$x>y \Rightarrow , x\geq y+2 \geq 5 ,x^5\geq (y+2)^5 >y^5+2^5>y^5+2^4$ поэтому при положительных решений нету пусть одно из них $=0$ тогда второе тоже пусть теперь оба отрицательные но тогда уравнение переходит в вид $n^5-m^5=16mn$ выше написаное противоречие тогда есть вариант где одно из них отриц пусть это $n$ тогда $m^5+n^5=-16mn$ что невозможно тогда $m$ отрицательное уранвение переходит в вид $-m^5-n^5=-16mn$умножим обе части на $-1$ тогда $m^5+n^5=16mn$ теперь все числа натуральные тогда пусть $m\ne n $,$m,n$ одинаковой четности факт пусть нечетные тогда $m,n>1$,пусть$n\geq 3$ $m\geq{n+2}$,$m^5+n^5>3^3m^2+3^3n^2>16mn$ то тогда разберем где они четные пусть $m,n\geq 2$,$m\ne n$ $m\geq n+2$ $m^5+n^5> 4^3m^2+2^3n^2>16mn$ так что разберем вариант где $m=n$ тогда $2m^5=16m^2$$\Rightarrow$$8=m^3$$\Rightarrow$$m=n=2$ но т.к. изначально $m$ отрицательный то ответы $m=n=0;m=-2,n=2$

Факт который не записал если одно из них $n=1$ то решений нету т.к. $m^5-1=16m$ то $m^5$ нечетный ,m>3 то тогда $m^5>3^4m>1+3^3m>1+16m$ если $m=1$ то $1-n^5=16mn$ если $n$ отриц то правое отриц а левое положит если $n$ положит то наоборот и вариант где оба $=1$ неправильный поэтому нету решений при каком то из них $=1$

В моем решение есть ошибка там может быть $d^3=xy,2xy,4xy,8xy,16xy$ но все эти варианты похожи кроме $x^5-y^5=1$ логично что ответы $x=1,y=0 $но тогда $m=n=0$

$Нод(m,n)=d$

$m=da$ $(a,b)=1$

$n=db$

$d^3a^5-d^3b^5=16ab$

Так как a,b взаимно простые значит

$d^3:a,b$ $ d^3=abk$

$abka^5-abkb^5=16ab$

$k(a^5-b^5)=16$

$a^5-b^5$ должно делится на 16.

Если $|a^5-b^5| \leq 2$ тогда не сложно найти что $(m,n)=(-2,2)$

А если не так тогда:

$|a^5-b^5| \geq |(x^5+1)-x^5| \geq 31$ что не возможно.Значит:

$(m,n)=(0,0)(-2,2)$