20-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Родос, Греция, 2018 год


Решите уравнение $m^5-n^5=16mn$ в целых числах.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2019-05-11 21:34:35.0 #

net reshenii

  1
2019-05-11 22:39:08.0 #

Нет, ты ошибаешься. Решение есть. Например: $m=n=0$.

  0
2019-05-11 23:16:03.0 #

м=н=0 и все да ты прав.

  1
2019-05-12 14:52:47.0 #

Нет, еще есть $m=-2, n=2$.

Только два решения.

пред. Правка 2   1
2019-05-21 21:10:07.0 #

Правая часть делится на $n$, значит, левая тоже, тогда $m^5 \,\vdots\, n$.

Правая часть делится на $m$, значит, левая тоже, тогда $n^5 \,\vdots\, m$.

Пусть $(m,\,n)=k$, тогда $m=m_1k;\,n=n_1k;\,(m_1;\,n_1)=1$, тогда

$m_1^5k^5 \vdots n_1k\Rightarrow k^4 \vdots n_1$

$n_1^5k^5 \vdots m_1k\Rightarrow k^4 \vdots m_1$

Рассмотрим случаи:

1) $m_1;\,n_1$ - степени $k$, но этого не может быть, так как взаимно просты;

2) $m_1$ или $n_1$ равны 1, тогда исходное равнение не имеет решений;

3) $m_1=n_1=1$

Значит, $|m|=|n|$.

Рассмотрев два случая, получим $(0;\,0);\,(-2;\,2).$

  1
2019-05-13 18:13:23.0 #

Не факт, что если $m^5$ делится на $n$ и $n^5$ делится на $m$, то $|m|=|n|$. Контрпример: $m=4,n=2$.

  1
2019-05-21 21:53:10.0 #

Это не все случаи. Ещё есть несколько случай. Например:

$m_{1}n_{1}=k$, где $m_{1}$ и $n_{1}$ не равны 1.

  1
2019-05-13 21:55:30.0 #

Правая часть делится на $n$, значит, левая тоже, тогда $m^5 \,\vdots\, n \,(@sea)$.Отсюда $lcm(m,n) \neq 1$

Пусть $m=\frac{k}{l} \cdot n$, где $k=\frac{m}{lcm(m.n)}, l=\frac{n}{lcm(m,n)}, lcm(k,l)=1$

$$\frac{m^5-n^5}{mn} = 16$$.

Используя уравнения выше, получим следующее:

$$n^3(\frac{k^4}{l^4} - \frac{l}{k}) = 16$$

Число $\frac{k^4}{l^4} - \frac{l}{k}$ должно быть целым, то есть дробные части данных чисел должны самоуничтожаться. Если выделить целую часть обоих чисел и оставить несократимые дроби, то они должны быть равны, однако учитвая, что $lcm(k,l) = 1$, это невозможно, только если $|k|=|l|\neq1$. Исходя из этого,$|k|=|l|=1$.

Подставив $k$ и $l$ под $m=\frac{k}{l} \cdot n$, получим, что $|m|=|n|$

Рассмотрев четыре* случая, получим $(0;\,0);\,(-2;\,2). @sea$

  1
2019-05-14 18:26:45.0 #

Не обязательно то что $\dfrac{k^4}{l^4}-\dfrac{l}{k}$ должно быть целым. Это равносильно тому что $k^5-l^5$ должно делится на $l^4k$. Но $n^3$ может делится на $l^4k$.

  1
2019-05-14 23:16:20.0 #

Но это также невозможно, поскольку поделив $m$ на $lcm(m,n)$, мы извлекли всевозможные общие простые делители чисел $n$ и $k$, поэтому $lcm(n,k)=1$. Это также приводит к случаю ранее, не так ли?