35-я Балканская математическая олимпиада. Белград, Сербия, 2018 год

В окружность $k$ вписан четырехугольник $ABCD$ такой, что $AB > CD$ и $AB \nparallel CD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. На отрезке $AB$ нашлась точка $E$ такая, что $EM \perp AB$. Известно, что $\angle MEC = \angle MED$. Докажите, что $AB$ является диаметром $k$.

Комментарий/решение

По тригонометрической теореме Чевы в треугольнике DEC мы получаем

$$\sin \angle DCA \cdot \sin (\angle DEA - \angle DCA) = sin \angle CDB \cdot \sin (\angle DEA - \angle CDB)$$

Откуда

$$\frac{1}{2}(\cos \angle DEA - \cos (\angle DEA - 2 \angle DCA)) = \frac{1}{2}(\cos \angle DEA - \cos (\angle DEA - 2 \angle CDB))$$

АВ не параллельна CD,значит $\angle ACD + \angle BDC = \angle DEA \iff $ М - инцентр треугольника DEC $\iff BCME$ вписан в одну окружность $\iff AB$ диаметр