Районная олимпиада, 2000-2001 учебный год, 10 класс

Числа $a^2$, $b^2$, $c^2$ образуют арифметическую прогрессию; $a$, $b$, $c$, $a+b$, $b+c$, $a+c$ отличны от нуля. Доказать, что числа $\dfrac{1}{b+c}$, $\dfrac{1}{a+c}$, $\dfrac{1}{a+b}$ также образуют арифметическую прогрессию.

Комментарий/решение

$a^2, b^2, c^2$ сандары арифметикалық прогрессия құрағандақтан келесідей түрлендіру енгізейік:

$a^2=x, b^2=x+d, c^2=x+2d$

$a=\sqrt {x} , b=\sqrt {x+d} , c=\sqrt {x+2d}$

Осыларды берілген өрнекке қойсақ:

$\frac{1}{\sqrt {x+d} ; \sqrt {x+2d}}+\frac {1}{\sqrt {x}} ; \frac{1}{\sqrt {x}+\sqrt {x+d}}$.

өрнектің әр мүшесінің бөлімін иррационалдан құтқарсақ:

$\frac{\sqrt {x+2d}-\sqrt {x+d}}{d} ; \frac{\sqrt {x+2d}-\sqrt {x}}{2d} ; \frac{\sqrt {x+d}-\sqrt {x}}{d}$. АП-ның $\frac{a_{1}+a_{3}}{2}=a_{2}$ қасиетін пайдалансақ

$\frac{\sqrt {x+2d}-\sqrt {x+d}}{d}+ \frac{\sqrt {x+d}-\sqrt {x}}{d}=2\cdot \frac{\sqrt {x+2d}-\sqrt {x}}{2d}$ теңдігі орынды екенін көреміз. Сонымен берілген сандар да АП құрайды

$$ b^2-a^2=c^2-b^2$$

$$ (b-a)(b+a)=(c-b)(c+b)\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \frac{b-a}{b+c}=\frac{c-b}{b+a}\Rightarrow \frac{b-a}{(b+c)(a+c)}=\frac{c-b}{(b+a)(a+c)}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \frac{b+c-a-c}{(b+c)(a+c)}=\frac{c+a-b-a}{(b+a)(a+c)}\Rightarrow \frac{1}{a+c}-\frac{1}{b+c}=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+c}$$

$$b^2-a^2=c^2-b^2\Rightarrow \frac{1}{a+c}-\frac{1}{b+c}=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+c}$$