Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2018 год

$ABC$ үшбұрышында $I$ нүктесі — іштей сызылған шеңбердің центрі. $AI$ және $BI$ сәулелерінде, алайда $AI$ және $BI$ кесінділерінде жатпайтын, $\angle ACA_1 = \angle BCB_1 = 90^\circ$ болатындай сәйкесінше $A_1$ және $B_1$ нүктелері алынған. $M$ нүктесі — $A_1B_1$ кесіндісінің ортасы болсын. $IM$ және $AB$ түзулері бір-біріне перпендикуляр екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть перпендикуляр к $AB$ пересекает $A_{1}B_{1}$ в точке $E$, и $\angle B_{1}IE=x, \ \angle A_{1}IE = y , \ \ \angle IEB_{1} = z$ тогда из треугольников $IEA_{1}, IEB_{1}$ получаем соотношения $B_{1}E = \dfrac{IB_{1} \sin(x)}{\sin(z)}, A_{1}E = \dfrac{IA_{1} \sin(y)}{\sin(z)}$ докажем что $B_{1}E=A_{1}E$ или $ \dfrac{ IB_{1}}{IA_{1}} = \dfrac{\sin(y)}{\sin(x)}$ $(1)$

Доказательство: так как $ \angle B_{1}CI = \angle A_{1}CI = 180^{\circ}-(x+y)$ тогда из треугольников $ICB_{1}, \ ICA_{1}$ получается $$ \dfrac{IA_{1}}{\sin(x+y)} = \dfrac{IC}{\sin(y)} , \ \dfrac{IB_{1}}{\sin(x+y)} = \dfrac{IC}{\sin(x)}$$ или $(1)$ то есть $E=M$