Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2018 год

Докажите, что если для некоторых целых чисел $a$, $b$ и $c$ выполнено равенство $\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} = \dfrac{2c}{b+c},$ то произведение $bc$ является квадратом некоторого целого числа.

Комментарий/решение

Преобразовав

$\dfrac{1}{1+(\frac{b}{a})^2} + \dfrac{1}{1+(\frac{a}{c})^2} = \dfrac{2}{1+\frac{b}{c}}$

$\frac{b}{a}=m, \ \frac{a}{c}=n, \ \frac{b}{c}=mn$

$\dfrac{1}{1+m^2}+\dfrac{1}{1+n^2} = \dfrac{2}{1+mn}$

$(2+m^2+n^2)(1+mn) = 2(1+m^2)(1+n^2)$

$(2+m^2+n^2)(1+mn)=(2+m^2+n^2)+(m+n)^2$

$(2+m^2+n^2)mn=(m+n)^2$

$(mn-1)(m^2+n^2)=0$

$m=\frac{1}{n}$

$bc = \frac{a^2m}{n} = \frac{a^2}{n^2} = (\frac{a}{n})^2 = c^2$

мұнда түрлендіруден қате кеткен екен

a^2/(a^2+b^2 ) + c^2/(a^2+c^2 ) = 2c/(b+c)

1/(1+(〖b/a)〗^2 ) + 1/(1+(〖a/c)〗^2 ) = 2/(1+b/c)

b/a = m; a/c = n; b/c = mn;

1/(1+m^2 ) + 1/(1+n^2 ) = 2/(1+mn)

(2 + m2 + n2)(1 + mn) = 2(1 + m2)(1 + n2)

(2 + m2 + n2)mn = m2 + n2 + 2m2n2

2 + m2 + n2 = m/n + n/m + 2mn

(m – n)2 = (m^2+n^2)/mn – 2

mn = 1

m = 1/n

bc = (a^2 m)/n = (a/n)2 = c2