Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2018 год

Докажите, что при любых целых нечетных значениях $a,$ $b$ и $c$ выражение $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$ кратно 16.

Комментарий/решение

Запишем числа а, б и с как 2к1 + 1, 2к2 + 1 и 2к3 + 1 соотвественно. Значит, данную формулу мы можем записать в виде 8(к1к2(к1-к2) + к2к3(к2 - к3) + к3к1(к3 - к1)). Следовательно, если скажем что все к1, к2, к3 четные или нечетные, то очевидно что все что внутри скобок четно и мы нашли ответ. Но что если, среди к1, к2, к3 есть чёрные и нечетные одновременно? Очевидно, что хотя бы, одно из произведений в скобках будет четным потому что мы знаем что одно из них четное. С этого следует, что все внутри скобок всегда чётно из чего понятно что данная формула делится на 16

Lolzy, пожалуйста, ознакомься с "правилами набора формул". Что бы писать так: $k_{1},k_{2},k_{3}$.

Берілген теңдікті жақшаны ашамыз, және көбейткішке жіктеп келесі теңдікті аламыз.

$$a^2b-ab^2+b^2c-bc^2+ac^2-ac^2=(a-c)(b-c)(a-b)$$

Үш жұп санның көбейтіндісі 8-ге бөлінеді. Енді бір жақша немесе көбейткіш 4-ке бөлінетінін көрсетсек жеткілікті.

--Үш жұп санның($a,b,c$) кем дегенде екеуі төртке бөлінбейтін жұп сан болса, онда олардың азайтындысы 4-ке бөлінеді

--Үш жұп санның кем дегенде екеуі төртке бөлінсе, олардың айырмасы 4-ке бөлінеді.

--Үш жұп санның барлығы 4-ке бөлінсе, онда айырмалары да 4-ке бөлінеді Д.К.О.