Республиканская олимпиада по математике, 2018 год, 11 класс

Внутри выпуклого четырехугольника $ABCD$ отмечена точка $M$ такая, что $\angle AMB=\angle ADM+\angle BCM$ и $\angle AMD=\angle ABM+\angle DCM.$ Докажите, что $AM\cdot CM+BM\cdot DM\ge \sqrt{AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}.$ ( Н. Седракян )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
 Проведем касательную прямую $\ell$ в точке $M$ к описанной окружности треугольника $BCM$. Тогда, угол между $\ell$ и прямой $BM$ равен углу $BCM$. Следовательно, угол между $\ell$ и прямой $AM$ равен углу $ADM$. Поэтому, описанные окружности треугольников $BCM$ и $ADM$ касаются $\ell$, в частности, касаются друг друга.
  Аналогично, описанные окружности треугольников $ABM$ и $CDM$ также касаются друг друга.
  Сделаем инверсию с центром $M$ и радиусом $R$. Тогда вышерассматриваемые четыре окружности перейдут в пары параллельных прямых, образуя параллелограмм.
  Если $A',B',C',D',M'$ --- соответственно образы точек $A,B,C,D,M$, то для параллелограмма $A'B'C'D'$ и точки $M'$, лежащей внутри этого параллелограмма, необходимо доказать неравенство $$A'M' \cdot C'M' +B'M'\cdot D'M' \ge \sqrt{A'B' \cdot B'C' \cdot C'D' \cdot A'D'} = A'B' \cdot B'C' \quad (1)$$ Пусть, при параллельном переносе точки $M'$ на вектор $C'B'$, точка $M'$ перейдет в точку $N'$. Тогда неравенство (1) эквивалентно неравенству $B'M' \cdot A'N' + A'M' \cdot B'N' \ge A'B' \cdot N'M'$, что очевидно следует из неравенства Птоломея, для четверки точек $A',M',B',N'$.

Рисунок для наглядности

да уж