Районная олимпиада, 2000-2001 учебный год, 11 класс

Найти действительные корни уравнения ${x^2} + 2ax + \frac{1}{{16}} = - a + \sqrt {{a^2} + x - \frac{1}{{16}}}\,$, $0 < a < \frac{1}{4}$.

Комментарий/решение

Пусть $a^2+x-16=t^2$ выразив $x$ и подставляя в уравнение, оно запишется как

$(t^2-a^2+\dfrac{1}{16})^2+2a(t^2-a^2 + \dfrac{1}{16})+\dfrac{1}{16} = t-a$

Применив ещё раз замену $t-a=b , t+a=d$

откуда

$(bd+\dfrac{1}{16})^2+(d-b)(bd + \dfrac{1}{16})+\dfrac{1}{16}=b$

Или

$b^2(d^2-d) + b(d^2+\dfrac{d}{8}-\dfrac{17}{16})+\dfrac{d}{16}+\dfrac{17}{256}=0$

$D=\dfrac{(16d^2-17)^2}{16^2}$

$b=\dfrac{1}{16-16d}$

Второй корень не подходит, так как не удовлетворяет условию $a \in \ (0,\dfrac{1}{4})$

Значит

$16(t-a)(1-t-a)=1$

Аналогично открывая скобки и решая как кв уравнение

$t=\dfrac{\pm \sqrt{16a^2-16a+3}+2}{4}$

$x = \dfrac{\pm \sqrt{16a^2-16a+3}-4a+2}{4}$