Республиканская олимпиада по математике, 2018 год, 11 класс

$\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел. Существует ли функция $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ такая, что для любых натуральных $m$ и $n$ выполнено равенство $f\left(mf\left(n\right)\right)=f\left(m\right)f\left(m+n\right)+n?$ ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: не существует.
Решение. Решение: Предположим, что такая функция существует. Обозначим через $P(m,n)$ равенство $f(mf(n))=f(m)f(m+n)+n$ и пусть $f(1)=c.$ $P(1,1):$ $f(c)=cf(2)+1,$ отсюда легко следует, что $c\ge 3$ и $f(c) \equiv 1 \pmod c.$ $$P(1,n): \quad f(f(n))=cf(n+1)+n, \quad (1)$$ $$P(n,1): \quad f(cn)=f(n)f(n+1)+1. \quad (2)$$ Из (1) следует, что $$f(f(n)) \equiv n \pmod c, \quad \mbox{для любого} \ n \in \mathbb{N}, \quad (3)$$ Если $n \vdots c,$ то используя (3) получаем, что $$P(f(n),1): \quad f(cf(n))=f(f(n))\cdot f(f(n)+1)+1 \equiv 1 \pmod c.$$ Тогда $$P(c,n): \quad f(cf(n))=f(c)f(n+c)+n \Rightarrow f(n+c) \equiv 1 \pmod c.$$ Значит, $f(n) \equiv 1 \pmod c$ для любого $n \vdots c.$ $$P(c,n): \quad f(cf(n))=f(c)\cdot f(n+c)+n \Rightarrow f(n+c) \equiv 1-n \pmod c, \ \mbox{для любого} \ n \in \mathbb{N} \quad (4)$$ Используя (4) при $n=c+2$ из (2) следует, что $$1 \equiv f(c+2)f(c+3)+1 \equiv (-1) \cdot (-2)+1 \equiv 3 \pmod c,$$ что невозможно, так как $c\ge 3,$ противоречие.