Республиканская олимпиада по математике, 2018 год, 11 класс

В равнобокой трапеции $ABCD$ точка $O$ — середина основания $AD$. Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $BO$ касается прямой $AB$. Пусть отрезок $AC$ пересекает эту окружность в точке $K$ ($C \ne K$), и пусть $M$ такая точка, что $ABCM$ — параллелограмм. Описанная окружность треугольника $CMD$ пересекает отрезок $AC$ в точке $L$ $(L \ne C)$. Докажите, что $AK=CL$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Из того, что $ABCM$ — параллелограмм и $ABCD$ — равнобокая трапеция, имеем следующие равенства: $$\angle CDM=\angle MAB=\angle BCM,$$ то есть прямая $BC$ касается описанной окружности четырехугольника $MLCD$. Откуда, имея ввиду, что $AB$ касается описанной окружности треугольника $BCK$, получим $\angle LMC=\angle LCB=\angle KBA$. Также понятно, что $\angle BAK = \angle LCM$. Поэтому треугольники $ABK$ и $CML$ равны по стороне $(AB=CM)$ и прилежащим углам, то есть $AK=CL$.