Республиканская олимпиада по математике, 2018 год, 9 класс

Дан параллелограмм $ABCD$. Некоторая окружность проходит через точки $A$ и $B$ и пересекает отрезки $BD$ и $AC$ во второй раз соответственно в точках $X$ и $Y$, а описанная окружность треугольника $ADX$ пересекает отрезок $AC$ во второй раз в точке $Z$. Докажите, что отрезки $AY$ и $CZ$ равны. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Из того, что точки $A$, $X$, $Z$ и $D$ лежат на одной окружности, а $A$, $B$, $X$ и $Y$ на другой, следует, что $\angle AYB = \angle AXB = 180^\circ-\angle AXD=180^\circ-\angle AZD=\angle DZC$. Так как отрезки $AB$ и $CD$ равны и параллельны, то $\angle BAY = \angle DCZ$. Следовательно, треугольники $ABY$ и $CDZ$ равны по стороне и прилежащим углам, откуда $AY=CZ$.

Аналогично опишем окружность $\omega$ около треугольника $BYC$ и пусть $G \in \omega \cap BD$. Так как $\angle AXZ = 180^{\circ} - \angle XAY - (180^{\circ} - \angle ADB) = \angle ADB - \angle XAY$ так же $\angle YGC = \angle YBC = \angle DBC - \angle XBY = \angle ADB - \angle XAY$ и $\angle YCG = \angle GBY = \angle XBY = \angle XAY$ тогда $\angle GCB = \angle DAX$ то есть $\Delta GCB = \Delta ADX$ равны по углам и равным сторонам $AD=BC$, откуда $\Delta AZX = \Delta CGY$ то есть $AZ=CY$ учитывая что $ABCD$-параллелограмм, получаем $ZO=YO$ откуда $AY=CZ$.

Возьмём, что YBX=x, AYB=y, DBA=z и точки P и Q являются точками пересечения прямых DZ и AX, и BX и ZY соответсвенно.

Заметим, что YBX=XAY=XDZ=x и BYA=BXA=y, так как четырехугольники AXYB и ADXZ - вписанные. Откуда следует, что DZY=360 - (XPZ+PXB+XQZ)=y. Заметим, что ABCD параллелограм, откуда следует, что CD=AB и DBA=CDB=z. Отсюда DCZ=YAB, по одной стороне и двум углам откуда следует, что AY=CZ.

OB=OD=> OX*OB=OX*OD.

OX*OB=OY*OA, так как ABXY вписанный ; OX*OD=OZ*OA, так как AXZD вписанный. Значит, OY*OA=OZ*OA => OY=OZ => AY=CZ.