Областная олимпиада по математике, 2018 год, 9 класс


Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Прямая $AB$ разбивается на отрезок $AB$ и лучи $a$ и $b$ с началами $A$ и $B$ соответственно. Луч $r$ симметричен $a$ относительно биссектрисы угла $CAD$; луч $s$ симметричен $b$ относительно биссектрисы угла $CBD$. Оказалось, что точки $O$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $AB$, а точка $P$ пересечения лучей $r$ и $s$ — по другую. Докажите, что $OP$ и $CD$ перпендикулярны.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
2018-02-05 01:50:29.0 #

Пусть $H$ середина $CD$ и $G,\ J$ точка пересечения окружности с $OH$ где $G$ ближе к $CD$, тогда биссектрисы $\angle DAC, \ \angle CBD$ пересекаются в точке $G$.

1)Пусть луч симметричный $a$ относително $AG$ пересекает $GJ$ в точке $X$. Так как $GJ$-диаметр, то $\angle GAJ=90^{\circ}$ и $\angle BAJ=90^{\circ} - \angle BAG$ и так как луч $AG$ делит угол между прямыми $a$ и $AX$ пополам, то $AJ$ биссектриса $\angle BAX$ или $\angle BAJ = \angle JAX$.

2)Пусть точка $Y$ на окружности такая, что $AY \perp GJ$ и $L \in GJ \cap AY$ тогда $AL=LY$ и $AXY$-равнобедренный. $\angle AXJ = 180^{\circ}-\angle JAX - \angle AJX = 180^{\circ}-\angle JAX - (90^{\circ}+\angle AGJ)=90^{\circ}-\angle JAX- \angle AGJ=90^{\circ}-\angle JAB-\angle AGJ=90^{\circ}-\angle BGJ-\angle AGJ$

3) Значит $\angle YXL=\angle AXL=\angle AXJ=90^{\circ}-\angle BGJ-\angle AGJ$ откуда $\angle XYA=\angle XAY=\angle 90^{\circ}-\angle YXL=\angle BGJ+\angle AGJ$, но $\angle AYB=180^{\circ}-\angle AGB=180^{\circ}-(\angle AGJ+\angle BGJ)$ значит $Y$ лежит на $BX$ откуда $\angle YBJ=\angle AGJ$ так как $AJ=JY$ с другой стороны $\angle JBA=\angle AGJ $ значит $BJ$ биссектриса $\angle ABX$ и точка $X$ и $P$ совпадают. Откуда $OP \perp CD$.