Областная олимпиада по математике, 2018 год, 9 класс

Докажите, что для любых действительных чисел $a$, $b$ и $c$, сумма квадратов которых равна 3, выполняется неравенство $5(a^4+b^4+c^4)+9\geq 8 (a^3+b^3+c^3).$

Комментарий/решение

$5(a^4+b^4+c^4)+9=5(a^4+b^4+c^4)+2(a^2+b^2+c^2)+3$

По неравенству о среднем арифметическим и средним геометрическим получаем:

$5a^4+2a^2+1\geq8\sqrt[8]{a^{24}}=8a^3$

Аналогично для b и c.

Суммируя 3 таких неравенства получаем исходное.