Районная олимпиада, 2001-2002 учебный год, 9 класс

Доказать, что если $\sqrt[3]{\mathstrut a}+\sqrt[3]{ \mathstrut b}+\sqrt[3]{ \mathstrut c}=0$, то , то $(a + b + c)^3 = 27abc$.

Комментарий/решение

Сделаем замену: $ \sqrt[3]{a} = x $, $ \sqrt[3]{b} = y $, $ \sqrt[3]{c} = z $. Тогда $ x + y = -z$, $ (x+y)^3 = -z^3$, $ x^3 + 3xy(x+y) + y^3 + z^3 = 0 $, откуда $ x^3 + y^3 + z^3 = -3xy(x+y)$. Вспомним, что $ x + y = -z$, $ x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz $, $ (x^3 + y^3 + z^3)^3 = 27x^3y^3z^3$. Последнее равенство эквиваленто равенству $ (a+b+c)^3 = 27abc $.

Let x=a^3 , y=b^3 , z=c^3 , then

(a+b+c)^3 = (x^3 + y^3 + z^3 )^3=((x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)+3xyz)^3 = (3xyz)^3 = 27abc