Западно-Китайская математическая олимпиада, 2013 год

Дан треугольник $ABC$. $B_1,C_1$ — центры вневписанных окружностей, соответствующих $B,C$. Точки $B_2,C_2$ симметричны $B_1,C_1$ относительно середин $AC,AB$, соответственно. Вневписанная окружность касается стороны $BC$ в точке $D$. Докажите, что прямые $AD$ и $B_2C_2$ перпендикулярны.

Комментарий/решение

Аналогично определим $A_{1}$ пусть точка $G$ симметричная $D$ относительно середины $BC$, то есть $CD=GB$.

1) Покажем что $C_{2},B_{2},G$ лежат на одной прямой.

Доказательство: по известному свойству центров вне-ых окружностей $AA_{1} \perp B_{1}C_{1}$ так же учитывая из условия $C_{2}B || B_{2}C || B_{1}C_{1}$

покажем что $\dfrac{GB}{CG} = \dfrac{C_{2}B}{CB_{2}}$ или $\dfrac{GB}{CG} = \dfrac{AC_{1}}{AB_{1}}$ так как $\dfrac{GB}{CG} = \dfrac{CD}{BD}$ но так как $A_{1}D \perp BC$ и $A_{1}BC, \ A_{1}B_{1}C_{1}$ подобны, откуда $\dfrac{CD}{BD} = \dfrac{AC_{1}}{AB_{1}}$ или $\dfrac{GB}{CG} = \dfrac{C_{2}B}{CB_{2}}$. Значит $G,C_{2},B_{2}$ лежат на одной прямой.

2) Покажем что $A_{1}DA, \ GC_{2}B$ подобны.

Доказательство: так как $C_{2}B \perp AA_{1}$ выходит $\angle AA_{1}D = \angle C_{2}BC$ значит нужно показать

$\dfrac{A_{1}D}{A_{1}A} = \dfrac{GB}{C_{2}B}$ но $\dfrac{GB}{C_{2}B}=\dfrac{CD}{AC_{1}} = \dfrac{A_{1}D}{A_{1}A}$

3) из пункта $(2)$ выходит $B_{2}C_{2} \perp AD$