Западно-Китайская математическая олимпиада, 2014 год

Given a real number $q$, $1 < q < 2$ define a sequence $ \{x_n\}$ as follows: for any positive integer $n$, let \[x_n=a_0+a_1 \cdot 2+ a_2 \cdot 2^2 + \cdots + a_k \cdot 2^k \qquad (a_i \in \{0,1\}, i = 0,1, \cdots m k)\] be its binary representation, define \[x_k= a_0 +a_1 \cdot q + a_2 \cdot q^2 + \cdots +a_k \cdot q^k.\] Prove that for any positive integer $n$, there exists a positive integer $m$ such that $x_n < x_m \leq x_n+1$.

Комментарий/решение

Теперь $Mopsichek$-а можно считать одним из администраторов сайта $matol$