Западно-Китайская математическая олимпиада, 2014 год

Пусть $A_1,A_2, \ldots$ последовательность множеств таких, что для любого натурального $i$ существует лишь конечное число значений $j$ таких, что $A_j\subseteq A_i$. Докажите, что существует последовательность натуральных чисел $a_1,a_2, \ldots$ таких, что для любой пары $(i,j)$ выполнено: $a_i\mid a_j$ тогда, и только тогда, когда $A_i\subseteq A_j$.

Комментарий/решение