Западно-Китайская математическая олимпиада, 2012 год

$A$ — $n$-элементное множество. $A_1, A_2, \ldots A_k$ — такие подмножества $A$, что любые $2$ различных подмножества $A_i, A_j$ либо не пересекаются, либо одно из них полностью содержит другое. Найдите наибольшее возможное значение $k$.