Западно-Китайская математическая олимпиада, 2007 год

Существует ли такой треугольник с целыми длинами сторон, что длина самой короткой стороны равна $ 2007$ и наибольший угол в два раза больше наименьшего?

Комментарий/решение

Ответ: не существует

Решение

1)Рассмотрим $\Delta ABC$. Без нарушения общности положим $AB\ge BC\ge AC = 2007$. Также обозначим углы:

$$\angle A = 180^\circ-3\beta;\; \angle B = \beta;\; \angle C = 2\beta$$

Из условия, а также неравенства сторон следует

$$\angle C\ge \angle A\ge \angle B$$

2)Решим неравенства (1)

$$2\beta\ge 180^\circ-3\beta\rightarrow \beta\ge 36^\circ;\;\;180^\circ-3\beta\ge \beta\rightarrow \beta\le 45^\circ$$

3)Теорема синусов

$$\dfrac{AC}{\sin\beta} = \dfrac{AB}{\sin(2\beta)}\Rightarrow AB=2007\cdot\dfrac{\sin(2\beta)}{\sin\beta} = 2007\cdot\dfrac{2\cdot \sin\beta\cdot\cos\beta}{\sin\beta}$$

$$AB=4014\cdot\cos\beta\in\mathbb{N}$$

4)Из (3) следует, что $\cos\beta\in\mathbb{Q}$. Если более точно, то $\cos\beta = K/4014,K\in\mathbb{N}$

5)Можно оценить значение $K$ при помощи выражений (2). Эта оценка пригодится в финале решения.

$$\cos(36^\circ)\ge \cos\beta\ge\cos(45^\circ)\Rightarrow \dfrac{\sqrt 5 + 1}{4}\ge\dfrac{K}{4014}\ge\dfrac{\sqrt 2}{2}$$

$$3247.4>K>2852.5$$

6)Теорема синусов для стороны $BC$

$$\dfrac{BC}{\sin(180^\circ - 3\beta)} = \dfrac{AC}{\sin\beta}\Rightarrow BC = 2007\cdot\dfrac{\sin(3\beta)}{\sin\beta}$$

$$BC = 2007\cdot\dfrac{3\sin\beta - 4\sin^3\beta}{\sin\beta} = 2007\cdot(3 - 4\sin^2\beta)$$

$$BC = 2007\cdot(3 - 4(1-\cos^2\beta)) =2007\cdot (-1+4\cos^2\beta)$$

7)Подставляем (4) в (6)

$$BC=2007\cdot\left(-1+4\cdot \dfrac{K^2}{4014^2} \right)\in\mathbb{N}\Rightarrow \dfrac{2007\cdot 4\cdot K^2}{4014^2}\in\mathbb{N}$$

8)Сокращая дробь в (7), получаем, что $K$ имеет вид

$$\dfrac{K^2}{2017}=\dfrac{K^2}{3^2\cdot 223}\in\mathbb{N}\Rightarrow K=m\cdot 3\cdot 223, m\in\mathbb{N}$$

9)Возвращаемся в (5), с учетом (8)

$$3247.4>669\cdot m>2852.5;\;\;4.85>m>4.26$$

Данное неравенство неразрешимо в целых чисел. Отсюда следует ответ.