Западно-Китайская математическая олимпиада, 2007 год

Точка $ O$ лежит внутри треугольника $ ABC$. Докажите, что существуют натуральные числа $ p,q$ и $ r$ такие, что \[ |p\cdot\overrightarrow{OA} + q\cdot\overrightarrow{OB} + r\cdot\overrightarrow{OC}| < \frac{1}{2007}.\]

Комментарий/решение

$$ A(0,0) , \quad B(x,0), \quad C(x_1,y_1), \quad O(x_0,y_0)$$

$$ \vec{OA}=(-x_0,-y_0)$$

$$ \vec{OB}=(x-x_0,-y_0)$$

$$ \vec{OC}=(x_1-x_0,y_1-y_0)$$

$$ \vec{k}=p\cdot \vec{OA} + q\cdot \vec{OB}+r\cdot \vec{OC}=(x_k,y_k)$$

$$ x_k=-x_0(p+q+r)+qx+rx_1$$

$$ y_k=-y_0(p+q+r)+ry_1$$

$$ \left| p\cdot \vec{OA} + q\cdot \vec{OB}+r\cdot \vec{OC} \right|=|\vec{k}|=\sqrt{x^2_k+y^2_k}$$

$$ |\vec{k}|^2= (p+q+r)^2(x_0^2+y_0^2)-2(p+q+r)(qxx_0+r(x_1x_0+y_1y_0))+$$

$$+q^2x^2+2qrxx_1+r^2(x^2_1+y_1^2)=\frac{1}{2007^2}$$

$$x_0^2+y_0^2=\vec{AO}\cdot \vec{AO}=|\vec{AO}|^2$$

$$qxx_0=q\vec{AO}\cdot \vec{AB}$$

$$r( x_1x_0+y_1y_0)=r\vec{AC}\cdot \vec{AO}$$

$$q^2x^2=q^2\vec{AB}\cdot\vec{AB}=q^2|\vec{AB}|^2$$

$$ 2qrxx_1=2qr\vec{AC}\cdot \vec{AB}$$

$$r^2(x_1^2+y_1^2)=r^2\vec{AC}\cdot \vec{AC}=r^2|\vec{AC}|^2$$

$$ \Rightarrow (p+q+r)^2|\vec{AO}|^2-2(p+q+r)(q\vec{AO}\cdot \vec{AB}+r\vec{AC}\cdot \vec{AO})+$$

$$+q^2|\vec{AB}|^2+2qr\vec{AC}\cdot \vec{AB}+r^2|\vec{AC}|^2=$$

$$ = (p+q+r)^2|\vec{AO}|^2-2\vec{AO}(p+q+r)(q\vec{AB}+r\vec{AC})+(q\vec{AB}+r\vec{AC})^2=$$

$$=((p+q+r)\vec{AO}-q\vec{AB}-r\vec{AC})^2=\frac{1}{2007^2}$$