Западно-Китайская математическая олимпиада, 2007 год

Даны такие действительные числа $ a,b,c$, что $ a+b+c=3$. Докажите, что \[\frac{1}{5a^2-4a+11}+\frac{1}{5b^2-4b+11}+\frac{1}{5c^2-4c+11}\leq\frac{1}{4}.\]

Комментарий/решение

Решение с книги:

Если $$a< \frac{9}{5}\Leftrightarrow (a-1)^{2}(5a-9)\leq 0$$

$$\Leftrightarrow 5a^3-19a^2+23a-9\leq 0$$

$$\Leftrightarrow (3-a)(5a^2-4a+11)\geq 24$$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{5a^2-4a+11}\leq \frac{1}{24}(3-a)$$

И если $a,b,c<9/5$, делаем для каждого и получаем что сумма меньше равно $1/4$.

Теперь осталось выбрать вариант при котором одно из чисел больше или равно $9/5$ (двух и более быть не может, сумма будет превышать 3).Б.О.О. пусть это будет $a$.

$$5a^2-4a+11=5a(a-4/5)+11 \geq 5*9/5*5/5+11=20$$

$$\Rightarrow \frac{1}{5a^2-4a+11}\leq \frac{1}{20}$$

Теперь рассмотрим $b$ и $c$, если посмотреть с точки того что $(4b^2+1)\geq 4b$ по $AM$ $GM$, то $5a^2-4a+11 > 10$

$$\rightarrow \frac{1}{5b^2-4b+11}< \frac{1}{10}$$

Так же делаем и для $c$, получаем что сумма $<1/20+1/10+1/10=1/4$

Чтобы применить неравенство Йенсена, $f - $ должна быть вогнута вообще везде, так как $a, b, c \in \mathbb{R}$.

В то же время

$$f^{''}(x) = \frac{2(-4 + 10x)^2}{(11 - 4x + 5x^2)^3} - \frac{10}{(11 - 4x + 5x^2)^2}$$

То есть

$$f^{''}(2) = \frac{282}{12167} $$

Но чтобы она была вогнута везде $f^{''}(2) < 0$, что неправда

спасибо