Западно-Китайская математическая олимпиада, 2002 год

Пусть $ O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ ABC$. Точка $ P$ лежит внутри треугольника $ AOB$. Точки $ D,E,F$ являются проекциями $ P$ на стороны $ BC,CA,AB$, соответственно. Докажите, что параллелограмм, в котором отрезки $ FE$ и $ FD$ являются соседними сторонами, лежит целиком внутри треугольника $ ABC$.

Комментарий/решение

Пусть

$ \angle BAC=\alpha$

$ \angle ABC=\beta$

$ \angle ACB=\gamma$

Пусть $ P$ четвертая точка параллелограмма $ FEKD$.

Достаточно Доказать

$ \angle AEF+\angle FEK<180^o$ и

$ \angle BDF+\angle FDK<180^o$

$Д-во:$

У нас:

$ 90^o+\angle OBP>90^o$

$\Longleftrightarrow$

$ \gamma+\angle PAF+\angle OAP+\angle OBP>90^o$

Поэтому

$ \angle EAP+\angle PBD=\gamma+\angle OAP+\angle OBP>90^o-\angle PAF=\angle APF=\angle AEF$

$\Longleftrightarrow$

$ \angle EFD>\angle AEF$

$\Longleftrightarrow$

$ \angle AEF+180^o-\angle EFD<180^o$

$\Longleftrightarrow$

$ \angle AEF+\angle FEK<180^o$

Аналогично

$ \angle BDF+\angle FDK<180^o$

Поэтому параллелограмм $ FEKD$ лежит целиком внутри $ \triangle ABC$