Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 11 класс

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Из точки $O$ опустили перпендикуляр $OP$ на сторону $AB$. Прямая $OP$ пересекает сторону $CD$ в точке $Q$. Найдите $OQ$, если $AD=2,$ $AB=1$ и $\angle CDB=30{}^\circ .$

Комментарий/решение

Если $ \angle CDB = 30^{\circ}$ и $\angle (AC,BD)=90^{\circ}$ , тогда $\angle DCA = \angle DBA = 60^{\circ} $ , по условию $OP \perp AB $ тогда $\angle BOP = \angle QOD = \angle CDB = 30^{\circ}$ , аналогично $\angle AOY = \angle QOC = 60^{\circ}$ , значит $OQ=\frac{CD}{2}$. По теореме Пифагора найдем $DO=\frac{\sqrt{13}}{2}$, так как $\Delta EQC$-равносторонний ,$OC=OQ=QC=x$ , то той же теореме $CD^2-OC^2=DO^2$ или $(2x)^2-x^2=\frac{13}{4}$ откуда $x=\sqrt{\frac{13}{12}}$.