Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 11 класс

Найти $a$, если $\int\limits_{0}^{a}{[x]dx}=2017.$ (Здесь $\left[ x \right]$ означает наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $\left[ 12,6 \right]=12,$ $\left[ -3,75 \right]=-4.$)

Комментарий/решение

$$a=64 \frac{1}{64}$$

Рассмотрим определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции.

Площадь синей фигуры равна $S_{1}=1+2+\ldots+(\lfloor a \rfloor -1)=\dfrac{\lfloor a \rfloor(\lfloor a \rfloor -1)}{2}$.

Заметим, что $\dfrac{\lfloor a \rfloor(\lfloor a \rfloor -1)}{2} < S < \dfrac{\lfloor a \rfloor(\lfloor a \rfloor +1)}{2}$, или $2016<2017<2080$, откуда $\lfloor a \rfloor =64$.

Площадь красной фигуры равна $64(a-64)$, тогда получим,

$2016 + 64(a-64)=2017$

$a=64\dfrac{1}{64}$.