Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 10 класс

Решите уравнение $f\left( x \right)={{x}^{2}}-1$, где $f(x)$ – функция, определённая на $\mathbb{R}$ и при всех $x\in \mathbb{R}$ удовлетворяющая равенству $3f\left( x \right)+f\left( -x \right)=\left\{ \begin{align} & x,x\le 0, \\ & 5x,x>0. \\ \end{align} \right.$

Комментарий/решение

Если $x \leqslant 0$, тогда получим $\left\{\begin{array}{rcl}3f(x)+f(-x)&=&x,\\3f(-x)+f(x)&=&-5x;\end{array}\right.$ откуда $f(x)=x$.

Если $x > 0$, тогда получим $\left\{\begin{array}{rcl}3f(x)+f(-x)&=&5x,\\3f(-x)+f(x)&=&-x;\end{array}\right.$ откуда $f(x)=2x$.

Значит, $f(x)=\begin{cases}x,&x \leqslant 0;\\ 2x,&x>0.\end{cases}$

Тогда решением уравнения $f(x)=x^2-1$ будут числа $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ и $1+\sqrt{2}$.