Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 9 класс

Сколькими способами можно представить число 2017 в виде суммы нескольких слагаемых (больше одного), расположенных в неубывающем порядке, причём разность между последним и первым слагаемыми не должна превышать 1.

Комментарий/решение

Ответ: 2016.

Заметим, что при таком представлении числа используются только 2 числа, разность которых 1. Возьмем меньшее число как $x$, количество слагаемых как $n$, а количество слагаемых равных большему числу как $m$. Тогда получим уравнение $(n-m)x+m(x+1)=2017 \Rightarrow nx+m=2017$. В таком случае, что бы $x$ имело целое значение, $m$ должно быть равно остатку от деления 2017 на $n$(при этом заметим что $m\leq n$). Значит $m$ может принимать только одно значение, в таком случае у нас только одно значение $x$ которое оно может принимать. Все это означает что для определенного $n$, у нас только один способ представить 2017 в таком виде. $n$ может принимать 2016 значений ($2\leq n \leq 2017$), то есть 2016 способов.

У вас ответ не правильно

Там не 2015, а 2016. 2017 тоже представляется в виде суммы 2017 однерок

Спасибо, исправил.

Ответ:2016

Пусть n-количество слагаемых удовлетворяющий условию.Очевидно что 2≤n≤2017. Докажем что для любого n, где 2≤n≤2017, можем представить 2017 в виде n слагаемых.

Заметим все n меньшие 2017 делит 2017 с остатком. Пусть этот остаток будет m, где m<n. Тогда 2017=nk+m. И мы сначала запишем к n раз . Потом будем прибавлять справа на лево 1 m раз .Тогда их сумма будет равна 2017 и оно будет удовлетворять условию. При n=2017, просто запишем один 2017 раз