Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 9 класс

Найдите все многочлены $P(x)$ и $Q(x)$, удовлетворяющие при всех $x\in \mathbb{R}$, равенствам $P(Q(x))={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+7$ и $Q\left( x-1 \right)={{x}^{2}}-2x-1.$

Комментарий/решение

$Q(x)=Q(x-1+1)=x^2+2x+1-2(x+1)-1=x^2-2$ , тогда $P(Q(x))=P(x^2-2)=x^4-5x^2+7$ получаем $P(x^2-2)=(x^2-2)^2-(x^2-2)+1$ , откуда $P(x)=x^2-x+1$.

Ваш ответ $P(x)=x^2-x+1$ верен только для $x\in \left[ { - 2; + \infty } \right)$. А как быть в случае $\left( { - \infty ; - 2} \right)$?

$$Q(x-1)=x^2-2x-1=x^2-2x+1-2=(x-1)^2-2$$ $$Q(x)=x^2-2$$

$$P(Q(x))=P(x^2-2)=(x^2-2)^2-(x^2-2)+1$$ $$P(x)=x^2-x+1$$

$$\mathbb{Q}(x-1)=x^2-2x-1$$

$$ x-1=t \Rightarrow x=t+1 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \mathbb{Q}(t)=(t+1)^2-2(t+1)-1=t^2-2$$

$$P(\mathbb{Q(t)})=t^4-5t^2+7=\mathbb{P} ( t^2-2)$$

$$t^2-2=z \Rightarrow t^2=z+2 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \mathbb{P} (z)= (z+2)^2-5(z+2)+7=z^2-z+1$$