Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 8 класс


Дан треугольник $ABC$. На стороне $AB$ выбрана точка $K$, а на отрезке $CK$ – точка $L$ так, что $AK=KL=\frac{1}{2}KB.$ Известно, что $\angle CAB=45{}^\circ ,$ $\angle CKB=60{}^\circ .$ Доказать, что $AL=BL=CL.$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
2017-12-13 01:42:55.0 #

Берілген шарты бойынша негізі $$AK=KL=\frac{1}{2}KB$$

  0
2017-12-13 05:04:38.0 #

Рахмет, қатесін түзеттік.

  1
2022-01-15 15:37:16.0 #

Пусть $M$ - середина отрезка $BK$. Выходит что $AK=KL=KM$, поэтому $\angle ALM = 90^\circ$, так как $\angle CKB = 60^\circ$ и $KM=KL$ , то $\angle AML = \angle KLM = 60^\circ$ и $\angle BAL = 30^\circ$. По свойству треугольника с углами $30^\circ,60^\circ,90^\circ AL=ML\sqrt{3}$

Теперь рассмотрим $\triangle KLB$. Так как $KM=MB=ML$ то он также является прямоугольным. Аналогично выходит что $BL=KL\sqrt{3}$.

На очереди $\triangle ALC$. Так как $\angle LAC = 45^\circ -\angle LAM = 15^\circ$ и $\angle ALK = 30^\circ = \angle LAC + \angle LCA$ выходит что $\angle LCA = 15^\circ$ и $AL = CL$