Районная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 10 класс

Сумма минимального значения $f(x) = ax^2 + 8x + b$ и минимального значения $g(x) = bx^2 + 8x + a$ равна нулю ($a > 0$, $b > 0$). Докажите, что эти минимальные значения равны нулю.

Комментарий/решение

Преобразовав квадратные трехчлены, имеем следующее: $$ f(x)=ax^2+8x+b=a\left(x+\frac{4}{a}\right)^2+b- \frac{16}{a} \Rightarrow ~f_{\min}=b- \frac{16}{a}$$

$$g(x)=bx^2+8x+a=b\left(x+\frac{4}{b}\right)^2+a- \frac{16}{b} \Rightarrow ~g_{\min}=a- \frac{16}{b}.$$

По условию $f_{\min}+g_{\min}=a+b- \frac{16}{a}- \frac{16}{b}=0$. Тогда $(a+b)\cdot\left(1- \frac{16}{ab}\right)=0$. Так как $a+b>0$, то $1- \frac{16}{ab}=0$, $ab=16$. Значит, $$f_{\min}=b- \frac{16}{a}= \frac{ab-16}{a}=0,\quad g_{\min}=a- \frac{16}{b}= \frac{ab-16}{b}=0.$$