4-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2017 год, вторая лига, 9-10 классы

В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^\circ$. Пусть $E$ и $F$ — основания высот из вершин $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что $CE-BF=\frac{3}{2}(AC-AB).$

Комментарий/решение

$$ BE \bot AC, \quad CF \bot AB$$

$$ \triangle ABE:\angle BAE= \angle BAC= 60^o \Rightarrow \angle ABE=30^o \Rightarrow AE=\frac{AB}{2}=AC-CE \Rightarrow CE=AC-\frac{AB}{2} $$

$$ \triangle AFC:\angle FAC= \angle BAC= 60^o \Rightarrow \angle FCA=30^o \Rightarrow AF=\frac{AC}{2}=AB-BF\Rightarrow BF=AB-\frac{AC}{2} $$

$$CE-BF=\left(AC-\frac{AB}{2}\right)-\left(AB-\frac{AC}{2}\right)=\frac{3}{2}(AC-AB)$$