Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, I тур дистанционного этапа

На каждой из пяти карточек написано какое-то число. Карточки лежат на столе числами вниз. Мы можем, заплатив рубль, указать на любые три карточки, и нам сообщат сумму написанных на них чисел. За какую наименьшую цену можно наверняка узнать сумму всех пяти чисел? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. За 4 рубля.
Решение. Пусть написаны числа $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e.$ Спросим про суммы $a+b+c,$ $a+b+d,$ $a+b+e,$ $c+d+e.$ Тогда, складывая три первые суммы и вычитая из результата четвёртую, получаем $3(a+b),$ затем $a+b$ и, прибавляя к результату $c+d+e,$ сумму всех пяти чисел. Допустим, нам удалось обойтись тремя вопросами. Назовём вхождением присутствие карточки в вопросе. Если есть карточка с тремя вхождениями, то увеличим число на ней на 2, а все остальные числа уменьшим на 1. Тогда ответы на все три вопроса не изменятся, а сумма всех чисел уменьшится на 2. Значит, её такими тремя вопросами узнать нельзя. Получается, что у каждой карточки не больше двух вхождений, а это возможно только если у четырёх карточек по два вхождения, а у одной — одно. Поменяв, если надо, обозначения, мы можем считать, что одно вхождение у карточки $e$, а один из вопросов — $a+b+c.$ Тогда в ещё одном вопросе без карточки $e$ должны присутствовать две из трёх карточек $a,$ $b,$ $c.$ Поменяв, если надо, обозначения, можно считать, что это вопрос $a+b+d.$ Тогда в третьем вопросе не может быть ни одной из карточек $a$ и $b,$ то есть это вопрос $c+d+e.$ Но тогда при увеличении каждого из чисел $a$ и $e$ на 2 с одновременным уменьшением каждого из чисел $b,$ $c$ и $d$ на 1 ответы на все три вопроса не изменятся, а сумма всех чисел увеличится на 1. Значит, и в этом случае сумму всех пяти чисел узнать нельзя.

Укажем каждую карточку как x, y, z, p, q

Теперь рассмотрим сумму 3 карточек с возможными значениями

x+y+z=A

z+q+p=B

p+x+y=C

y+x+q=D значит можно заплатить 4 рубля за каждые суммы карточек

Чтобы узнать сумму 5 карточек, надо использовать систему

Для упрощения системы, мы можем написать что x+y=g, т.к. они чаще повторяются.

тогда:

z=A-g

q=D-g

p=C-g

z+p+q=B

Тут получается так

B=A-g+C-g+D-g ----> B=(A+C+D)-3g ----> g=⅓*(A+C+D-B)

Теперь сумма 5 карточек

x+y+z+p+q=g+B=(⅓*(A+C+D-B))+B

Значит, за 4 рубля можно узнать сумму пяти карточек

Ч.Т.Д