Районная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 11 класс

Треугольник $ABC$ разбит медианами на 6 треугольников. Радиусы вписанных окружностей в четырех из них равны. Докажите, что треугольник $ABC$ — правильный.

Комментарий/решение

Для начала вспомним , что медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников. Учитывая это, и то , что радиусы описанных окружностей 4 из них равны, также учитывая $R=\dfrac{abc}{4S}$, получим '$abd=bed=eca=bac$, где стороны первого треугольника равны $2а;b; d$, второго, имеющего с первым общую сторону $b$,равны $b; 2e; d$, третий имеет стороны $ 2e; c; a$, а четвертый $2b; a; c$. Также было утено, что медианы делят друг друга в отношении 2 к 1. С помощью алгебраических преобразований получим $a=b=e$, также получим $d=c$. Из последнего следует, что треугольник равнобедренный. Из этого одна из медиан также является и биссектрисой. В данном треугольнике три угла равны, значит, он правильный

Вы пользуетесь тем, что радиусы ОПИСАННЫХ окружностей равны, а нужно, чтобы радиусы вписанных должны быть равны.

Ладно, пусть радиусы вписанных окружностей равны, воспользуемся $r=\dfrac{S}{p} $, это значит, что полупериметры, а значит и периметры у этих треугольников равны. Получим $2a+b+d=b+2e+d=2e+c+a=2b+a+c$, ;из чего и следует $a=e=b$ и $d=c$. Дальше размышления как в случан с описанной

Опять же, в условии задачи их 4 из 6 треугольников. Вы берете только те, которые хотите взять. А нужно рассмотреть все возможные варианты. Понимаете в чем недочет решения?

$M,N,T$ середины сторон $BC,AB,AC$ соотвественно, $O$- точка их пересечения.

Рассмотрим 2 случая, остальные аналогичны.

1) Без ограничения общности положим что равные окружности вписаны в треугольники $BOM,COM,COT,TOA$.

Учитывая формулу $r=\dfrac{S}{p}$ и то что медиана делит треугольник на равные по площади треугольника откуда $BO=CO$ и $CO=AO$ откуда $\angle BMA = \angle CTB = 90^{\circ} $ значит $AB=AC=BC$.

2) Пусть равные окружности расположены $TOA,AON,BON,BOM$ тогда по той же формуле и равенств площадей $BO=AO$ значит $\angle CNB = 90^{\circ}$ откуда $BC=AC$.

Тогда треугольники $COM,COT$ равны, значит вписанные в них окружности так же равны. С другой стороны равенство $TOA,AON$ по выше описанным соображениям возможно когда окружности вписанные в $BOM,COM$ равны, значит $AB=BC=AC$.