Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, I тур дистанционного этапа

Для каждой пары различных натуральных чисел $a$ и $b$, не больших 20, Петя нарисовал на доске прямую $y = ax+b$ (то есть он нарисовал прямые $y = x+2, \ldots , y = x+20,$ $y = 2x+1, y = 2x+3,$ $\ldots,$ $y = 2x+20,$ $\ldots,$ $y = 3x+1, y = 3x+2, y = 3x+4,$ $\ldots,$ $y = 3x+20,$ $\ldots , y = 20x+1, \ldots , y = 20x+19).$ Вася нарисовал на той же доске окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Сколько Петиных прямых пересекает Васину окружность? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 190.
Решение. График $y = ax+b$ пересекает оси координат в точках $A(-b/a, 0)$ и $B(0, b).$ Если $b < a,$ точка $A$ находится внутри Васиной окружности, и потому график $y = ax+b$ пересекает её. Нетрудно подсчитать, что Петиных прямых, у которых $b < a$, имеется $19+18+ \ldots +2+1 = 190.$
Рассмотрим теперь случай, когда $b > a.$ Тогда точки $K(-1, 0)$ и $N(0, 1)$ находятся на катетах треугольника $OAB$, где $O$ — начало координат, а точка $M(-1, 1)$ находится внутри этого треугольника, так как $a \cdot (-1)+b = b-a \ge 1.$ Таким образом, угол $KMN$ целиком лежит ниже прямой $y = ax+b$, и Васина окружность не пересекается с этой прямой, так как целиком содержится в угле $KMN$.
Итак, Петина прямая пересекается с Васиной окружностью тогда и только тогда, когда $b < a$, откуда и получается ответ.
Замечание. Доказать, что при $b > a$ Петина прямая не пересекается с Васиной окружностью, можно и по-другому. Пусть $h$ --- высота треугольника $OAB$, опущенная из вершины $O$. Тогда $h \cdot AB = OA \cdot OB$ $h\sqrt{{{b}^{2}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}}=\frac{{{b}^{2}}}{a},$ откуда $h=\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}>\frac{b}{a+1}\ge 1,$ то есть расстояние от начала координат до Петиной прямой больше 1, откуда и следует искомое.

1+2+3+.........+18+19=190