Западно-Китайская математическая олимпиада, 2015 год

Пусть $ABCD$ — выпуклый четырехугольник площади $S$ и $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$. Докажите, что для любой перестановки $x$, $y$, $z$, $w$ набора $a$, $b$, $c$, $d$ выполняется неравенство $S \leq \dfrac{xy+zw}{2}.$

Комментарий/решение

$$S=S_{\triangle ADB}+S_{\triangle CDB}=\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) +\frac{1}{2} \cdot DC \cdot CB \cdot \sin(\angle DCB)=$$

$$= \frac{1}{2} \cdot ad \cdot \sin(\angle BAD) +\frac{1}{2} \cdot bc\cdot \sin(\angle DCB)\leq \frac{ad}{2}+ \frac{bc}{2} \Leftrightarrow |\sin \alpha | \leq 1$$

$$ B \rightarrow B' : B'D=AB=a , AD=BB'=d$$

$$S=S_{\triangle B'DC}+S_{\triangle CB'B}=\frac{1}{2} \cdot DC \cdot B'D \cdot \sin(\angle B'DC) +\frac{1}{2} \cdot CB \cdot B'B \cdot \sin(\angle CBB')=$$

$$= \frac{1}{2} \cdot ac \cdot \sin(\angle B'DC) +\frac{1}{2} \cdot bd\cdot \sin(\angle CDB')\leq \frac{ac}{2}+ \frac{bd}{2} \Leftrightarrow |\sin \alpha | \leq 1$$