Районная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 11 класс

Найдите все значения параметра $p$, при которых существует ровно 2002 целых $x$, удовлетворяющих неравенству $x^2 - \pi x + p < 0$.

Комментарий/решение

Чтобы существовало ровно $2002$ целых решений неравенства, нужно, чтобы $2002 <x_2-x_1 <2004$; нули неравенства $x_1=\dfrac {\pi+ \sqrt {\pi^2-4p}}{2} $ и $x_2=\dfrac {\pi -\sqrt {\pi^2-4p}}{2} $ . Разность иксов равна $x_2-x_1=\sqrt {\pi^2-4p} $ . Теперь решим двойное неравенство $2002 <\sqrt {\pi^2-4p}<2004$,которому удовлетворяют все $p\in (\dfrac {\pi^2}{4}-1004004;\dfrac {\pi ^2}{4}-1002001) $. Это и есть ответ задачи.