2-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2015 год, вторая лига, 9-10 классы

На рисунке ниже точки $P, A, B$ лежат на окружности, а точка $Q$ внутри окружности так, что $\angle{PAQ}=90^\circ$ и $PQ=BQ$. Докажите, что значение разности углов $\angle{AQB}-\angle{PQA}$ равна центральному углу, опирающемуся на дугу $AB$.

Комментарий/решение

Пусть O - центр окружности, а X - точка на прямой AP за точку A, такая что $\angle PQA = \angle AQX$ $\Rightarrow$ $$\angle AQB - \angle PQA = \angle AQB - \angle AQX = \angle XQB$$

$\angle BPQ = 90^\circ - (\frac{\angle XQB}{2} + \angle PQA)$ $\Rightarrow$ $\angle BPA = \angle QPA - \angle BPQ = 90^\circ - \angle PQA - 90^\circ + \frac{\angle XQB}{2} + \angle PQA = \frac{\angle XQB}{2} = \frac{\angle AOB}{2}$ $\Rightarrow$

$$\angle AQB - \angle PQA = \angle XQB = \angle AOB$$

Пусть <BQA=a, а <AQP=b и <BOA=alfa и нам надо доказать что a-b=alfa(!)

<QPA=90-b

<QPB=(180-a-b)/2

<BPA= <QPA - <QPB= 90-b- (180-a-b)/2 = 0.5a- 0.5b=<BPA.

Дуга AB=2×<BPA=2×(0.5a-0.5b)= a-b.

Дуга AB= <BOA= alfa= a-b что и требовалось доказать!

О- центр окружности

BQA=2a , PQA=2b

BPQ=90-a-b , APQ=90-2b => APB=a-b => AOB=2a-2b

(О-центр описанной окружности треугольника АBP)