2-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2015 год, первая лига, 7-8 классы

Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle A= 60^\circ$. На сторонах $BC$, $AC$ и $AB$ взяты точки $M$, $N$ и $K$ соответственно так, что $BK=KM=MN=NC$. Известно, что $AN=2AK$. Найдите значения $\angle B$ и $\angle C$.

Комментарий/решение

Ответ:75°,45°.Треугольник AKN прямоугольный,так как один угол равен 60°и отношение соседних сторон равны 2:1,тогда угол AKN=90°,ANK=30°. Обозначим угол ABC и ACB -a ,b соответственно.Тогда углы KMN=KBM=a,углы NMC и NCM =b,так как треугольники KMB,KMN,MNC равнобедренные треугольники .Угол AKM = 2a ,а угол AKM=2b,a+b+60°= 180°,то a+b=120,потому что a,b,60 углы треугольника ABC.Сумма внутренних углов четырехугольника AKMN= 60°+2a+2b+угол KMN=360°,то угол KMN= 60°,так как a+b=120°.Из KMN следует что треугольник NKM разносторонний,тогда 2a=150°,2b=90°.a=75,b=45

Вам бы на олимпиаде за такое 0 поставили бы ну как обычно.

Что вы имеете ввиду "как обычно"?

Брат не тупи пж

Ответ : $\angle B$=$75^\circ$, $\angle C$=$45^\circ$

Решение: $\angle ABC + \angle ACB= 120^\circ \Rightarrow : \angle BMK + \angle CMN=120^\circ$

$\Rightarrow \angle KMN=60^\circ \Rightarrow KN=KM=MN=BK=CN \Rightarrow \angle MKN =\angle MNK=\angle KMN=60^\circ$

Теперь заметим, то что по условию $AN=2AK$ и $\angle A=60^\circ$ , тогда получается то что $\triangle AKN -прямоугольный( \angle AKN=90^\circ)$

Тогда и $\angle MNC=90^\circ$, а значит $\angle C=45^\circ и \angle B=75^\circ$, что и требовалось найти.