Западно-Китайская математическая олимпиада, 2017 год
Комментарий/решение:
$1:$
$(i)$
Пусть $H$ - ортоцентр $AMN$, тогда заметим, что из-за того, что $\frac{DM}{MB}=\frac{EN}{NC}$ оказывается, что окружности $(ABC),(AMN),(ADE)$ пересекаются в одной точке, а также их ортоцентры $I,H,G$ соответственно лежат на одной прямой.
$(ii)$
$BP,CQ$ - высоты треугольника $ABC$ и $L=CD\cap BP,J=BE\cap CQ$.
Так как $MH||BP,NH||CQ$ верно то $HD=HL,HE=HJ$, а значит $LJ||PQ$.
$DG||BI,EG||CI$ и $\frac{DM}{MB}=\frac{EN}{NC}=1 \Rightarrow \triangle JIL \stackrel {Z_H}{\to} \triangle EGD$, поэтому $\angle DEG=\angle LJI$ и $\angle GDE=\angle ILJ$, что равносильно $\triangle ABC \sim \triangle AED$, то есть $BCED$ - вписанный.
$(iii)$
Так как параллелограмм Вариньона $BCED$ является прямоугольником, то $BE\bot CD$.
$2:$
Если $BH\bot CH$ и $BCED$ вписанный, то $$\angle DBI=\angle MBH + \angle MHB=\angle DMH=\angle ICE=\angle ENH,$$
так как в $DQJH: \angle Q=\angle H=90^\circ$ и в $EHLP$ аналогично, после чего $\angle QDH=\angle IJH=\angle HEP=\angle ILH$.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.