Геометриядан Иран олимпиадасы, 2016 жыл, 2-ші лига (9-10 сыныптар)

$C_1$ және $C_2$ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $C_1$-ге $A$ нүктесінде жүргізілген жанама $C_2$-ны $P$ нүктесінде, ал $PB$ түзуі $C_1$-ды екінші рет $Q$ нүктесінде қияды ($Q$ нүктесі $C_2$-нің сыртында жатыр). $C_2$-ге $Q$ нүктесінен жүргізілген жанама $C_1$ және $C_2$-ны сәйкесінше $C$ және $D$ нүктелерінде қияды ($A$ және $D$ нүктелері $PQ$-ға қарағанда жеке екі жақта жатыр). $AD$ түзуі $CAP$ бұрышын қақ бөлетінін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

$$C_1:\angle CAB= \angle CQB$$

$$C_2: \angle DAB = \angle BDQ$$

$$ \angle CAD= \angle CAB+ \angle DAB=\angle CQB+\angle BDQ=\angle PBD= \angle PAD$$

$\angle PBD=\angle PAD \Rightarrow AD-$ биссектриса