Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2016-2017 учебный год, II тур заключительного этапа

Некоторое натуральное число $a$ разделили с остатком на числа 1, 2, 3, $\ldots$, 1000. Могло ли так случиться, что среди остатков ровно по 10 раз встретятся числа 0, 1, 2, 3, $\ldots$, 99? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Пусть $a \equiv b \pmod{100}$. Тогда $a \equiv b + 100k \pmod{100t}$, для $t \in [1, 10], k \geq 0$. Но так как возможные остатки меньше $100$ то, $k = 0$. Но тогда $a \equiv b \pmod{250}$. Значит остаток $b$ встречается не меньше $11$ раз.