Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2016-2017 учебный год, I тур регионального этапа

Приведите пример шести различных натуральных чисел таких, что произведение любых двух из них не делится на сумму всех чисел, а произведение любых трех из них — делится. ( С. Волчёнков )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть $p$ — достаточно большое нечётное простое число. Представим число $p^2$ в виде суммы $a_1+\ldots+a_6$ различных натуральных чисел, не делящихся на $p$. Числа $pa_1$, $\ldots$, $pa_6$ будут искомыми: произведение любых двух из них не делится на их сумму, равную $p^3$, а произведение любых трёх — делится. Пример получается уже при $p = 5$: разложение $25 = 1+2+3+4+6+9$ даёт набор чисел 5, 10, 15, 20, 30, 45.