Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2017 год

Равносторонний треугольник со стороной 20 разбит тремя семействами параллельных прямых на 400 равносторонних треугольничков со стороной 1. Какое наибольшее количество этих треугольничков можно пересечь (во внутренних точках) одной прямой? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

$$ \forall n=2,3,4,5,...$$

$$1) n=2 \Rightarrow \triangle A_{11} A_{21} A_{22} \rightarrow 1$$

$$2) n=3 \Rightarrow \triangle A_{11} A_{31} A_{33} \rightarrow 3$$

$$ 3) n=4 \Rightarrow \triangle A_{11} A_{41} A_{44} \rightarrow 5$$

$$.......................................$$

$$k-1) n=k \Rightarrow \triangle A_{11} A_{k1} A_{kk} \rightarrow 2k-3$$

$$ k=21\Rightarrow \triangle A_{11} A_{21,1} A_{21,21} \rightarrow 2\cdot 21 -3=39$$

$$ОТВЕТ: 39$$

$$\triangle A_{11} A_{(k-1)1} A_{(k-1)(k-1)}\rightarrow 2k-4$$