20-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров г. Варна, Болгария, 2017 год


Найдите все шестерки последовательных натуральных чисел таких, что для какой-нибудь их перестановки $a,b,c,d,e,f$ выполнено равенство $ab+cd=ef.$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2021-06-07 20:55:55.0 #

Пусть $a_0=a_1+1=a_2+2=...=a_5+5, (r_1, r_2,... r_6)=(0,1,2,3,4,5)$, тогда, подставляя, $a_0^2+a_0(r_1+r_2+r_3+r_4-r_5-r_6)+r_1r_2+r_3r_4-r_5r_6=.$ Если хотя бы $1$ из $r_5, r_6$ будет $<2,$ выходим на противоречие, так как тогда квадратичное уравнение $>0$. Дальше рассматриваем случаи: $(r_5, r_6)=(2,3),(2,4),...(4,5)$, находим ответы: $3*6+2*5=7*4; 3*6+1*2=4*5, 7*8+6*9=10*11$