Қалалық Жәутіков олимпиадасы, 8 сынып, 2017 жыл

Радиусы 1-ге тең дөңгелектің ішінде ешқандай үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын 9 нүкте жатыр. Сол нүктелердің ішінен ауданы 0,785-тен кіші болатын үшбұрыштың төбелері болатындай үш нүкте табылатынын дәлелдеңіз. ( Кахарман Н. )

Комментарий/решение

Если разбить круг на четыре равных сектора при помощи двух диаметров перпендикулярных друг другу , то по принципу Дирихле хотя бы в одном из них будет не менее 3 точек , но максимальная площадь одного сектора $S=\dfrac{\pi}{4}$ которая численно приблизительно равна $0.785$ , откуда и следует утверждение задачи .